重视中考综合题的创新意识

叶天碧

近年来，由省招办、省教委教研室根据义务教育课程指导纲要、教材和教学实际状况，编制了《中考说明》，作为全省中考复习和命题的唯一根据，各地市经过了多年的实践，已积累了丰富的经验，这就保证了今后中考命题不会有大的起伏，在确定考试试题时会更准确、更合理，试题重点是考查基础知识、基本技能、基本方法，但突出数学能力的考查和数学思想方法的应用已成为命题的原则之一，而其中综合性的题型应占有一定的比例。

初中数学的数学方法主要指分析、综合、概括、抽象、演绎、归纳、类比等，具体体现在配方法、换元法、消元法、待定系数法及几何证明等，数学思想是以数学方法为基础，逐渐形成的运用数学方法来解决数学问题的一种自觉意识，它比数学方法更高一个层次，常用的数学思想有函数与方程的思想、等价转化思想、数学结合思想、分类讨论思想，初中数学能力主要指运算能力、处理数据能力、初步的空间想象能力、逻辑思维能力，运用所学知识和方法分析、解决数学问题以及生产与生活实际问题的能力，在考查能力上进行创新性的探索，形成考查创新意识、应用意识，强调综合能力的共识。

中考数学试题，要发挥数学作业基础学科、工具学科的作用，既重视考查初中数学知识的掌握程度，又要考查进入高中继续学习的潜能，因此，试题要对初中数学的基础知识作较全面又重点的突出的考查，但是不刻意追求纯记忆性的考查，不刻意追求知识的复盖面，而重在关于知识的内在联系和综合，在知识网络交汇点设计试题，如一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做：（A）平行四边行 （B）矩形 （C）菱形 （D）梯形，这种纯记忆性的试题一般不再出现，试题力求在代数、几何这两大数学分支的知识网络交汇点提出问题、展开设问，在考查逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力及分析、解决问题能力上挖掘考查因素，只有创新性的试题，才能考查学生的创新意识，创新的活力是一个民族的灵魂，是社会不断进步的动力，是一个国家强盛的支柱，实践使我们认识到，考查创新意识，考查应用意识，强调考查综合能力，是我们命题走向成熟的标志和孜孜以求的目标。

综合题力求把数学知识、数学思想和方法、数学能力自然地融合起来，使得试题具有较高的思维考查价值，在客观性试题中注意简单综合，初级认识层次的考查，在解答题中注意多种综合，多层次的考查数学能力及数学思想方法，一般中考数学综合题中的好题、活题、新题，大部分都来源于课本，而且起来越多的人提出，所有的中考试题都必须在课本中找到原型，结合对学生创新意识的考查，一般综合题可作如下处理：1．旧问题，新材料，即从教材本身的题型出发，构思新的要求，可以改变原题的背景，设计新的问题，这种试题学生都熟悉，一般是在变形和延伸中下功夫。2．新问题，旧材料，即根据教材本身的要求，构思成新的题型，从感觉上看是新型题，显得比较陌生，但实际上和教材本身的要求基本相同。3．新问题，新材料，即题型与课本上仅相同，背景也有新意，尤其是和高中数学内容相衔接的内容，应用题中关于经济、科技、环保、交通、生态等方面的实际问题，可以说是陌生的内容、陌生的问题，属于完全创新型的试题，这种试题没有固定的背景与题型，难于模拟分类，因此是考查学生创新意识的有效题型，对于选拔有潜能的学生，及对中学加强素质教育的导向都有良好的作用。

例1．△ABC中，∠A=Rt∠，角平分线，AE、中线AD、高线AH的大小关系是（    ）

（A）AH＜AE＜AD      （B）AH＜AD＜AE

（C）AH≤AD≤AE      （D）AH≤AE≤AD

分析 这是考查初中数学第二册§5．7三角形的角平分线、中线、高线的基础知识的试题，教材介绍了它们的概念及画法，在练习中安排三者之间两两比较大小的题目，现在考查三条线段之间的大小关系，是一种旧问题、新材料型的创 新题，如果说画一个直角三角形，按题意把三条线段画出来量一量，按大小顺序排列与哪一个选择支相同（（A）、（D）），然后考虑一下是否可能相等，最后选择（D）也可，如果有的学生先画图1，△ABC中，∠A=Rt∠，且AB=AC，这时AH=AD=AH，（结合考查了等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合）然后过角平分线的端点E任作一直线交AB的处长线于M，交AC于N，在Rt△ABC中，作AH MN于H，取MN的中点D，连结AD，由于点D，E在高线AH的同旁，且DH＞EH，所以AD＞AE＞AH，这样，学生思维深度可以提高，最后把两种情况相结合，应选择（D），如果把∠A=Rt∠这个条件去掉，结论仍然不变，但是要求更高了，要分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况考虑，正因为加了条件∠A=Rt∠，把题目难度降下来，而且又是作为选择题，没有解答题的逻辑推理证明要求，像这种试题要求学生动手画一画，在正确理解概念的基础上，提供了不同层次、不同水平解题的途径，学生既要熟悉内容，又要考虑特殊性（三条线段都相等的时候），是一种创新性的基础题。

例2．如图2，△ABC中，高线AD与高线CE相交于点H，P为AD上的一点，连结BP，PC，且PC²=CH·CE，BD=4，DC=3，求△ABC中的面积。

分析 这是考查初中数学第五册§4．10直角三角形中的成比例线段和 4．12相似三角形的判定和应用，原题是§4．12相似三角形应用举例（一）中的例3，△ABC中，高线AD与高线CE相交于点H，P为AD上的一点，连结BP，PC，且PC²=CH·CE，求证：∠BPC=90°，是一种新问题、旧材料型的创新题，图形相同，基本条件也相同，只不过把原来是证明题要求改为计算题，原来只要应用相似三角形的判定就可以证明了，现在除了证明△BCP是直角三角形外，还要考查直角三角形的成比例线段（射影定理），增加了考查的综合性，而且，求证∠BPB=90°变成了隐含的内容，相同一个背景设计成不同的考查要求是创新性试题的一种格局。

例3 在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，点D是AB上任意一点，过D作AB的垂线与△ABC的直角边相交于E，设AD=x，△ADE的面积为y，当点D在AB上移动时：（1）求x的取值范围；（2）求函数y与自变量x的函数关系式；（3）当AD取何值时，△ADE中的面积最大，并求最大值。

分析 这道试题是在代数、几何这两大数学分支的知识网络交汇点提出问题，展开设问，在考查逻辑推理能力、运算能力及分析、解决问题能力上挖掘考查因素，在数学思想方法的应用上也有较高要求，涉及到数形结合思想、分类讨论思想，是一种新问题、新材料型的创新题，如图3所示，由于AC=3，BC=4，所以AB=5，当点D在AB上移动时，x的取值范围是明显的，0≤x≤5，而函数y与自变量x的关系式就不那么容易确定，当点D在AH移动时，应为 ；当然D在HB移动时，应为 ，而且这时它们所对应的x取值范围也是不同的，即当0≤x≤ 时， ；当 ≤x≤5时， ，而考生往往是只考虑前一种情况，不考虑后一种情况，事实上，只要画个图，从图中发现不同的两种情况，然后分两种情况讨论，便能使问题得到全面解决，特别值得注意的是最大值，即在当 时出现，也就是说，点D应在HB上，这样，不应用数形结合思想，不应用分类讨论思想，第（3）小题也无法答对，当然，这个试题，如果把条件AC=3，BC=4改为AC=4，BC=3，这恐怕设计第（3）小题毫无意思，创新性题有力地推动着初中数学教学的发展，有利于学生探索能力及创造能力的提高，当然这些题的难度要受到制约，注意用基础知识和基本方法去求解，要重视变式训练，在联系和应用上下功夫。